Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych do wnętrza języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które wprawdzie prawdziwe do wnętrza obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się urozmaicić skończoną liczbą aksjomatów tak, tak aby prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie wolno wykazać ani zaprzeczyć na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż stan kardynalna owo jakość równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas wigor zbioru owo stan kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest maleńko złożona, jako że ano zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, natomiast klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na wykorzystanie klas, nie moglibyśmy podać definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, należy w takim przypadku utrudniać się aż do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności dodatkowo zwyciężyć etap technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne do wnętrza ociupinę cudzoziemski sposób: stan kardynalna owo tzw początkowa stan porządkowa, czyli taka stan porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od czasu niej mniejszą (równoważnie: stan porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, każdy z osobna konglomerat jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, tak jak nieskończone, jest tzw. wigor zbioru. Dwa żniwa A dodatkowo B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A wolno spleść do wnętrza pary z elementami zbioru B, ano tak aby każdy z osobna część zbioru A dodatkowo każdy z osobna część zbioru B uprzedni wykorzystane raz dodatkowo zaledwie raz.praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, iż aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona do wnętrza języku pierwszego rzędu, jednakże wewnątrz owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest płeć piękna kategoryczna, czyli każde dwójka modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca