Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, podobnie jak nieskończone, jest tzw. moc zbioru. Dwa żniwa A także B są równoliczne (mają tę samą moc), jeśli elementy zbioru A jest dozwolone złączyć w środku pary spośród elementami zbioru B, w rzeczy samej ażeby wszelki podstawy zbioru A także wszelki podstawy zbioru B dawny wykorzystane uderzenie także ostatkiem sił raz.praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, że poziom kardynalna owo pracownia równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas moc zbioru owo poziom kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest względnie złożona, ponieważ w rzeczy samej zdefiniowane liczby kardynalne negacja logiczna byłyby zbiorami, i klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na zwyczaj klas, negacja logiczna moglibyśmy zdefiniować klasy wszystkich liczb kardynalnych, wypada wówczas kneblować się aż do \\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\" klas równoważności także zmóc łańcuch technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w środku kilka cudzoziemski sposób: poziom kardynalna owo tzw początkowa poziom porządkowa, alias taka poziom porządkowa, która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: poziom porządkowa która negacja logiczna jest równoliczna spośród żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, wszelki repozytorium jest równoliczny spośród pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, że dowolna \\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w środku języku pierwszego jest niezupełna. Zatem na rzecz każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które lecz prawdziwe w środku obrębie danej konstrukcji, negacja logiczna dają się wywnioskować spośród aksjomatów. Arytmetyki Peany PA negacja logiczna da się ubogacić skończoną liczbą aksjomatów faktycznie, ażeby zgodność z rzeczywistością każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. stwierdzenie Goodsteina), których negacja logiczna jest dozwolone pokazać ani sprostować na gruncie PA (choć wynikają one spośród aksjomatów Peany).praca
Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym spośród aksjomatów Peano. Sprawia płeć brzydka, że aksjomatyka liczb naturalnych negacja logiczna jest wyrażona w środku języku pierwszego o tyle o ile, toż za owo (jak wykazał Richard Dedekind) jest pani kategoryczna, alias każde dwaj modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca